Sự hội tụ về lâu dài

Luật số lớn

Trung bình cộng dồn của các lần cược độc lập tiến về giá trị kỳ vọngtoánGiá trị kỳ vọngKết quả trung bình trên mỗi lần cược về lâu dài. Bằng −1/37 tiền cược với mọi cửa cược tiêu chuẩn của roulette châu Âu.Đọc toàn bộ →. Sau N lượt quay cược 1 ăn 1, mỗi lượt một đơn vị cượctiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ →, kết quả trung bình mỗi lượt quay có kỳ vọng −1/37 và độ lệch chuẩntoánĐộ lệch chuẩnCăn bậc hai của phương sai; khoảng cách điển hình của một kết quả so với giá trị kỳ vọng.Đọc toàn bộ → 1/√N. Với N = 100, độ phân tán đó là 10% tiền cược, gần gấp bốn lần tín hiệu 2,7%. Với N = 1.000, nó là 3,2%, xấp xỉ bằng tín hiệu. Với N = 10.000, nó là 1%, và lợi thế nhà cái hiện ra rõ ràng. Lợi thế nhà cái vô hình trong một phiên và không thể nhầm lẫn trong một năm.

Cái gì hội tụ và cái gì không

Trung bình mỗi lượt quay thì hội tụ. Tổng thì không: nó trôi ngày càng xa khỏi mức không khi N tăng, theo kỳ vọng khoảng 2,7% của N, với độ phân tán √N quanh đó. Một người chơi đã chơi 10.000 lượt quay mỗi lượt $10 được kỳ vọng là lỗ $2.700, chênh lên xuống khoảng $1.000. Tỷ lệ cộng dồn của các lần đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ → đã ổn định quanh 48,65% từ lâu; số dư cộng dồn thì chưa ổn định ở đâu cả.

Vì sao trực giác sai

Người ta nghĩ lợi thế nhà cái sẽ lộ ra nhanh vì 2,70% nghe có vẻ nhiều, và nghĩ các chuỗi dài sẽ “cân bằng lại” vì luật số lớntoánLuật số lớnTrung bình của các kết quả độc lập hội tụ về giá trị kỳ vọng khi số phép thử tăng lên.Đọc toàn bộ → nói rằng giá trị trung bình hội tụ. Cả hai trực giác đều đánh giá sai quy mô: lợi thế nhà cái nhỏ so với phương saitoánPhương saiThước đo mức độ các kết quả phân tán rộng đến đâu quanh giá trị kỳ vọng. Cao với cược số đơn, thấp với cược 1 ăn 1.Đọc toàn bộ → của một lượt quay (σ = 1 đơn vị so với EV = 0,027, EV là giá trị kỳ vọng), nên phải mất (1/0,027)² ≈ 1.400 lượt quay để nó hiện ra ở mức một sigma. Và sự hội tụ của giá trị trung bình không kéo tổng quay trở lại chút nào; nó chỉ pha loãng các dao động đã qua.

Sự hội tụ với các cửa cược khác

Với cược số đơn (straight up)cượcCược số đơnMột số duy nhất, trả 35:1.Đọc toàn bộ →, σ = 5,84, nên cùng phép tính cho ra (5,84/0,027)² ≈ 47.000 lượt quay để lợi thế nhà cái đạt mức một sigma. Người cược số đơn có thể chơi nhiều năm mà lợi thế nhà cái vẫn không phân biệt được với may rủi trong sổ sách của chính họ, trong khi vẫn trả đúng 2,70% như người cược đỏ, người thấy nó chỉ trong vài tuần.

Hệ quả đối với việc kiểm tra hệ thống cược

Bất kỳ ai tuyên bố một hệ thống có hiệu quả đều phải chứng minh được nó qua 10.000 lượt quay trở lên với giá trị trung bình dương có ghi chép. Ở 1.000 lượt quay, một giá trị trung bình dương với cược 1 ăn 1 là biến cố xảy ra một lần trong năm theo giả thuyết không; ở 100 lượt quay, nó gần như tung đồng xu. Các trình mô phỏng trên trang này chạy 2.000 phiên với độ dài bạn chọn trong một giây, và đó là bằng chứng nhiều hơn bất kỳ lời chứng thực nào.

Công thức

Câu hỏi