Toán học · Ứng dụng · 13 phút

Rủi ro phá sản

Q: Cược lũy tiến có làm giảm rủi ro phá sản không?

Martingale làm giảm nó trong các phiên ngắn và làm tăng nó rất mạnh trong các phiên dài. Cược đều với đơn vị lớn hơn là cách trung thực để giảm nó.

Xác suất mất toàn bộ vốn chơi trước khi đạt được mục tiêu.

Trả lời ngắn gọn

Với cược 1 ăn 1, rủi ro phá sản tuân theo công thức của bài toán phá sản của con bạc. Với vốn chơi $500, mỗi lần cược $10 và mục tiêu $600, bạn đạt mục tiêu khoảng 57% số lần và cháy vốn trong phần còn lại.

công thức

bài toán phá sản của con bạc

p (cược 1 ăn 1)

18/37

q/p

1,0556

kết quả lâu đời nhất

Pascal–Fermat, 1656

Câu hỏi

Bạn có vốn chơitiềnVốn chơiTổng số tiền dành riêng để chơi. Quản lý vốn là quyết định mạo hiểm bao nhiêu trong số đó cho mỗi cửa cược và mỗi phiên chơi.Đọc toàn bộ → a đơn vị cượctiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ → và muốn đạt a + b đơn vị, mỗi lần cược một đơn vị vào một cược 1 ăn 1cượcCược 1 ăn 1Đỏ/đen, lẻ/chẵn, cao/thấp. 18 số, trả 1:1.Đọc toàn bộ → với xác suấttoánXác suấtKhả năng xảy ra của một kết quả, từ 0 đến 1 hoặc từ 0% đến 100%. Một số: 1/37 = 2,70%.Đọc toàn bộ → thắng p = 18/37 và xác suất thua q = 19/37. Xác suất bạn đạt mục tiêu trước khi về con số không là bao nhiêu? Câu trả lời đã được Pascal, Fermat và Huygens tìm ra vào những năm 1650 và là một trong những kết quả lâu đời nhất của lý thuyết xác suất.

Blaise Pascal

Công thức của bài toán phá sản của con bạc

P(đạt mục tiêu) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Rủi ro phá sảntoánRủi ro phá sảnXác suất thua hết toàn bộ vốn chơi trước khi đạt một mục tiêu hoặc một số lượt quay.Đọc toàn bộ → bằng một trừ đi giá trị đó. Với q/p = 19/18 ≈ 1,0556, tỷ số này tăng theo hàm mũ của số đơn vị, nên công thức trừng phạt nặng các đơn vị cược nhỏ: càng cần nhiều lần cược để đạt mục tiêu, khoản phí 2,70% càng bị trả nhiều lần trên đường đi.

vốn chơiđơn vịmục tiêusố lần cược đến mục tiêup(đạt mục tiêu)rủi ro phá sản

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1.00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1.0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1.000148,6%51,4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Cược 1 ăn 1, mức cược cố định, không có luật la partage. Máy tính rủi ro phá sản làm phép tính này cho bất kỳ con số nào.

Đọc kết quả

Đơn vị càng nhỏ càng thiệt. Cố gắng nhân đôi $500 bằng các lần cược $10 thành công 6% số lần; bằng một lần cược duy nhất $500 thì thành công 48,6% số lần. Chơi táo bạo, ít lần cược và mỗi lần lớn hơn, tối đa hóa xác suất chạm mục tiêu trong một trò chơi có kỳ vọng âm, vì nó giảm tối thiểu số lần lợi thế nhà cái được áp dụng. Nó cũng tối đa hóa phương saitoánPhương saiThước đo mức độ các kết quả phân tán rộng đến đâu quanh giá trị kỳ vọng. Cao với cược số đơn, thấp với cược 1 ăn 1.Đọc toàn bộ → của những gì xảy ra với bạn, và nó kết thúc buổi tối rất nhanh. Định lý này có tên “chơi táo bạo là tối ưu” và được Dubins và Savage chứng minh năm 1965.

Xác suất biến $500 thành $1.000 với cược đỏ%

một lần cược $500

48,6%

mỗi lần cược $100

≈ 43%

mỗi lần cược $50

≈ 37%

mỗi lần cược $20

≈ 21%

mỗi lần cược $10

≈ 6%

mỗi lần cược $5

≈ 0,5%

024,3048,6%

Càng cần nhiều lần cược, lợi thế nhà cái càng được trả nhiều lần. Chơi rụt rè rất tốn kém.

Bài toán bắt đầu từ đâu

Câu hỏi này lâu đời hơn roulette. Năm 1656 Pascal đố Fermat một bài: hai người chơi gieo ba con xúc xắc, mỗi người bắt đầu với 12 thẻ đếm; một lần gieo ra 11 chuyển một thẻ theo một chiều, ra 14 thì theo chiều kia. Cả hai đều giải được, và Huygens, người biết đến bài toán qua một lá thư của nhà toán học Pierre de Carcavi, in nó năm 1657 thành bài toán thứ năm của cuốn sách đầu tiên về xác suất, có đáp án mà không có chứng minh. Mười một có thể gieo ra theo 27 cách còn mười bốn chỉ có 15 cách, nên mỗi thẻ chuyển về phía người chơi thứ nhất 9 lần trong 14, và công thức ở trên, với 12 thẻ mỗi bên, khiến ông có khả năng thắng tất cả cao gấp khoảng 1.157 lần so với thua tất cả. Lợi thế 2,70% nhỏ hơn nhiều, nhưng cùng công thức ấy cho thấy nó làm gì qua nhiều lần cược.

Một lần cược táo bạo có thật

Tháng 4 năm 2004, Ashley Revell, một chàng trai trẻ người Anh, bán gần như mọi thứ mình có, kể cả quần áo, và mang $135.300 đến sòng Plaza ở Las Vegas. Sau vài lần cược nhỏ, anh đặt toàn bộ số tiền vào đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ →, một lần duy nhất. Viên bithiết bịBiViên bi nhỏ được tung dọc theo rãnh ngược chiều rô-to. Bi hiện đại làm bằng ivorine hoặc Teflon, 18–21 mm.Đọc toàn bộ → dừng ở số 7 đỏ và anh ra về với $270.600. Trên bánh xe có số 0bánh xeSố 0Ô số màu xanh lá duy nhất mà không cược 1 ăn 1, cược tá hay cược cột nào phủ; nguồn gốc của lợi thế nhà cái. Còn gọi là: single zero, 0.Đọc toàn bộ → kép, lượt quay duy nhất đó có xác suất 47,37% và trung bình khiến anh mất $7.121, tức lợi thế 5,26% trên một lần cược. Nếu chia ra thành các lần cược $10, cùng mục tiêu ấy gần như vô vọng. Chơi táo bạo không làm cho cửa cược tốt hơn; nó chỉ làm cho cuộc chơi ngắn nhất có thể.

Rủi ro phá sản khi không có mục tiêu

Nếu bạn chỉ chơi đến khi cháy vốn hoặc dừng sau N lượt quay, câu hỏi trở thành “xác suất vốn chơi của tôi chạm mức không trong vòng N lượt quay là bao nhiêu?”. Không có công thức đóng cho N tổng quát, nhưng các trình mô phỏng trên trang này tính được: vốn chơi $500, mỗi lượt $10 cửa đỏ, gần như không bao giờ cháy trong 100 lượt quay (dưới 1%), cháy khoảng 9% số lần trong 500 lượt quay, và khoảng 95% số lần trong 5.000 lượt quay. Không có quy tắc dừng, xác suất này tiến tới 100%, đó là phiên bản dài hạn của lợi thế nhà cáitoánLợi thế nhà cáiPhần của mỗi khoản tiền cược mà sòng bạc giữ lại tính trung bình: 2,70% trong roulette châu Âu.Đọc toàn bộ →.

Mười phiên, vốn chơi $500, $25 cửa đỏ, 200 lượt quaykết quả so với lúc đầu

1.000 phiên × 500 lượt quay · tím p10/p25/p75/p90, xanh nhạt trung vị, 81 đường mẫu mờ · di chuột trên biểu đồ để xem các phân vị tại một lượt quay

p10 −$500
p25 −$500
trung vị −$500
p75 +$0
p90 +$350

1.000 phiên × 500 lượt quay · trục tung được cắt ở bách phân vị thứ 1–99 (giá trị cực trị từ −$500 đến +$1.500) · 500 lượt quay · cơ bản $25 · cược 1 ăn 1

Những đường chạm đáy là đã phá sản. Với đơn vị cược nhỏ hơn, chúng sẽ kéo dài hơn và kết thúc ở cùng một chỗ.

Sự hội tụ về lâu dài

Kéo dài bao lâu, và có lãi được bao xa

Hai kết quả cổ điển nữa trả lời những câu hỏi mà người chơi thực sự đặt ra. Khi không đặt mục tiêu, cược đều vào cửa 1 ăn 1 kéo dài trung bình 37 lượt quay cho mỗi đơn vị vốn chơi trên bánh xe châu Âu và 19 lượt trên bánh xe Mỹ, vì mỗi lượt quay lấy đi trung bình 1/37 đơn vị (1/19 trên bánh xe Mỹ): 100 đơn vị kéo dài trung bình 3.700 lượt quay, dù một nửa số phiên như vậy kết thúc trong vòng 3.134 lượt (xem Độ dài phiên chơi và cái giá). Và dù vốn chơi lớn đến đâu, trên bánh xe châu Âu, xác suất có lúc lãi được k đơn vị là (18/19)ᵏ. Con số này là 95% với một đơn vị và 58% với mười đơn vị, nhưng không vốn chơi nào, dù dồi dào đến đâu, đưa được xác suất có lúc lãi 13 đơn vị lên tới một nửa; trên bánh xe Mỹ, xác suất là (9/10)ᵏ và tụt xuống dưới một nửa ở mức 7 đơn vị.

số đơn vị lãi, tại một thời điểm bất kỳChâu ÂuMỹ

194,7%90,0%

576,3%59,0%

1058,2%34,9%

1349,5%25,4%

2033,9%12,2%

506,7%0,5%

1000,45%0,003%

Cược 1 ăn 1, mức cược đều, vốn chơi đủ lớn để không bao giờ cạn. Xác suất là (18/19)ᵏ trên bánh xe một số 0 và (9/10)ᵏ trên bánh xe hai số 0.

Độ dài phiên chơi và cái giá Roulette Mỹ

Vốn chơi cho xác suất một nửa

Hãy đảo câu hỏi lại: bạn phải mang theo bao nhiêu để có xác suất ít nhất một nửa thắng được một khoản cho trước trước khi mất hết? Với một khoản thắng nhỏ, không cần nhiều. Với khoản lớn hơn, vốn chơi cần có tăng vọt, và vượt qua một ngưỡng thì không vốn chơi nào đủ, vì ngay cả vốn chơi vô tận cũng cho xác suất dưới một nửa để có lúc lãi được chừng ấy. Taylor (2021) diễn đạt theo cách khác: trên bánh xe Mỹ, để có xác suất một nửa đạt tới 100 đơn vị, bạn phải bắt đầu với 94, liều 94 để thắng 6. Trên bánh xe châu Âu, bạn cần 88.

khoản muốn thắngChâu ÂuMỹ

1 đơn vị22

2 đơn vị33

3 đơn vị45

4 đơn vị68

5 đơn vị712

6 đơn vị921

7 đơn vị12không vốn chơi nào đủ

8 đơn vị15không vốn chơi nào đủ

10 đơn vị24không vốn chơi nào đủ

12 đơn vị46không vốn chơi nào đủ

từ 13 đơn vị trở lênkhông vốn chơi nào đủkhông vốn chơi nào đủ

Vốn chơi nhỏ nhất, tính bằng đơn vị, cho xác suất ít nhất một nửa thắng được khoản đó trước khi mất vốn chơi, với cược 1 ăn 1 mức cược đều. Chúng tôi tính từ công thức ở trên.

Bài học thực tế

Hãy quyết định bạn đang muốn làm gì. Nếu mục tiêu là một khoản thắng cụ thể, cược lớn và ít lần. Nếu mục tiêu là một buổi tối dài, cược nhỏ và chấp nhận rằng lợi thế nhà cái sẽ lấy 2,70% của một tổng tiền cượctiềnTổng tiền cượcTổng số tiền đã cược trong một phiên chơi hoặc một khoảng thời gian, tính cả tiền thắng được đem cược lại. Còn gọi là: turnover, handle, action.Đọc toàn bộ → lớn. Nếu mục tiêu là cả hai, phải có điều gì đó nhượng bộ, và thường đó là mục tiêu.

Công thức

P(mục tiêu) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

rủi ro phá sản = 1 − P(mục tiêu)

q/p = 19/18 với cược 1 ăn 1

số lượt quay trung bình đến khi phá sản, không mục tiêu = 37 × số đơn vị

P(có lúc lãi k đơn vị) = (18/19)ᵏ

Câu hỏi

Cược lũy tiến có làm giảm rủi ro phá sản không?

Martingalechiến lượcMartingaleKiểu lũy tiến gấp đôi mức cược sau mỗi lần thua. Xem mục Chiến lược để biết nó làm được gì và không làm được gì.Đọc toàn bộ → làm giảm nó trong các phiên ngắn và làm tăng nó rất mạnh trong các phiên dài. Cược đềuchiến lượcCược đềuCược cùng một số tiền ở mọi lượt quay. Là mốc để so sánh mọi kiểu lũy tiến.Đọc toàn bộ → với đơn vị lớn hơn là cách trung thực để giảm nó.

Thế còn cược số đơn thì sao?

Công thức trên dành cho cược 1 ăn 1. Với các cửa cược phương sai cao, phá sản dễ xảy ra hơn ở mức cược nhỏ và mục tiêu đạt được một cách thất thường hơn; hãy dùng máy tính.

Vì sao q/p là đại lượng then chốt?

Mỗi bước tiến về mục tiêu kém khả năng hơn một chút so với mỗi bước tiến về phá sản; tỷ số này nhân dồn qua số bước.

Toán vui

Hãy tự giải trước. Mỗi lời giải đều được thu gọn; mở ra khi bạn đã sẵn sàng.

Bạn có $100 và muốn có $1.000, chỉ cược vào cửa đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ →. Kế hoạch một: mỗi lần cược $1. Kế hoạch hai: cược toàn bộ số tiền đang có cho đến khi vượt $500, rồi chỉ cược vừa đủ để đạt $1.000. Kế hoạch nào tốt hơn, và tốt hơn bao nhiêu?
Xem lời giải
Đáp án Kế hoạch hai, hơn rất xa. Nó đạt $1.000 khoảng 9,0% số lần, gần với mức 10% của trò chơi công bằng. Kế hoạch một thành công khoảng 7 lần trong 10²².
Trong một trò chơi công bằngtoánTrò chơi công bằngTrò chơi trong đó không bên nào có lợi thế: mọi cược đều có giá trị kỳ vọng bằng không.Đọc toàn bộ →, bạn sẽ đi từ $100 tới $1.000 một lần trong mười dù làm gì đi nữa, vì giá trị trung bình số tiền của bạn vẫn ở mức $100.
Lợi thế nhà cái lấy đi 2,70% mỗi lần cược, nên tổng số tiền bạn cược càng ít, bạn càng ở gần mức một phần mười. Kế hoạch hai giải quyết mọi chuyện trong vài lần cược: $100 thành $200, $400, $800, rồi $200 là đủ. Nó thành công khoảng 9,0% số lần. Kế hoạch một cần hàng nghìn lần cược trước khi cuộc dạo bước kết thúc, và lợi thế nhà cái, nhỏ trên từng lần, cộng lại thành gần như chắc chắn phá sản.
Đây là kết quả của Dubins–Savage ở dạng đơn giản nhất (Epstein, 2013): trong một trò chơi có lợi cho nhà cái, hãy cược nhiều như bạn cần, và ít lần nhất có thể.
Bạn có $500 và muốn có $1.000, dừng ngay khi đạt được. Bạn chọn một loại cược và lặp lại cho đến khi nó thắng một lần hoặc hết tiền. Loại nào cho cơ may tốt nhất?
Xem lời giải
Đáp án Một lần cược $500 vào cửa đỏ: 48,6%. Mọi kế hoạch chia tiền thành những lần cược nhỏ hơn đều kém hơn.
Chọn mỗi mức cược sao cho một lần thắng là đủ: $30 vào một cược số đơn (straight up)cượcCược số đơnMột số duy nhất, trả 35:1.Đọc toàn bộ → thắng $1.050, $60 vào một cược hai số (split)cượcCược hai sốHai số liền kề, trả 17:1.Đọc toàn bộ → thắng $1.020, và cứ thế. Rồi tính xác suất để ít nhất một lần cược thắng trước khi hết tiền. Mười sáu lần cược số đơn $30 đều trượt với xác suất (36/37)¹⁶ = 64,5%, nên chúng đạt $1.000 trong 35,5% số lần.
Bảng cho thấy từng loại cược. Cửa đỏ tốt nhất vì nó tới đích chỉ trong một lần cược, nên lợi thế nhà cái chỉ bị trả một lần, trên $500. Cược sáu số (six line)cượcCược sáu sốSáu số trong hai hàng liền nhau, trả 5:1. Tiếng Pháp: sixain.Đọc toàn bộ → đứng thứ hai vì chỉ cần ba lần. Một lần cược tácượcCược tá1–12, 13–24 hoặc 25–36, trả 2:1.Đọc toàn bộ → là tệ nhất, một cơ hội 12/37; ngay cả khi chơi theo đơn vị cượctiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ → $250 cho đến khi có từ $1.000 trở lên, cược tá cũng chỉ tới đích trong 46,4% số lần.
Bollman (2024) lập cùng bảng này cho bánh xe Mỹ. Hàng cược tá của ông có một chỗ nhầm: nó phải là 12/38 = 31,6%.
cượctiền cược × số lần cượcxác suất đạt $1.000
Cược số đơn$30 × 1635,5%
Cược hai số$60 × 835,9%
Cược ba số$90 × 534,5%
Cược góc$125 × 436,7%
Cược sáu số$166, $166, $16841,2%
Cược tá$500 × 132,4%
Đỏ$500 × 148,6%
Bạn cược một đơn vị vào cửa đỏ, hết lượt này đến lượt khác, với một vốn chơitiềnVốn chơiTổng số tiền dành riêng để chơi. Quản lý vốn là quyết định mạo hiểm bao nhiêu trong số đó cho mỗi cửa cược và mỗi phiên chơi.Đọc toàn bộ → không bao giờ cạn. Sau lượt quay đầu tiên, bạn lãi một đơn vị hoặc lỗ một đơn vị. Xác suất để bạn có lúc trở về đúng hòa vốn là bao nhiêu?
Xem lời giải
Đáp án 36 trên 37, 97,3%. Trên bánh xe Mỹ là 36 trên 38, 94,7%.
Nếu lượt đầu thắng (18 lần trong 37), bạn lãi một đơn vị, và lợi thế nhà cái kéo mọi phiên chơi bất tận đi xuống, nên sớm hay muộn bạn sẽ đi qua mức hòa vốn: điều đó là chắc chắn. Nếu lượt đầu thua (19 lần trong 37), bạn phải leo lên một đơn vị, và xác suất có lúc lãi một đơn vị là 18/19 (xem bảng ở trên).
Gộp lại: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Tổng quát, xác suất này bằng 1 trừ đi chênh lệch giữa xác suất thắng và thua một lượt quay: 1 − 1/37 trên bánh xe châu Âu, 1 − 2/38 trên bánh xe Mỹ. Trong một trò chơi không có số 0bánh xeSố 0Ô số màu xanh lá duy nhất mà không cược 1 ăn 1, cược tá hay cược cột nào phủ; nguồn gốc của lợi thế nhà cái. Còn gọi là: single zero, 0.Đọc toàn bộ →, chênh lệch bằng không và xác suất bằng 1: tỷ số luôn quay về hòa. Epstein (2013) đưa ra quy tắc tổng quát.
Bài đố năm 1656 của Pascal: hai người chơi gieo ba con xúc xắc, mỗi người bắt đầu với 12 thẻ đếm. Mỗi lần ra 11 chuyển một thẻ cho người thứ nhất, mỗi lần ra 14 chuyển một thẻ cho người thứ hai; các lần gieo khác không tính. Khả năng người thứ nhất thắng cả 24 thẻ là bao nhiêu? Còn nếu thay vào đó bạn cược 1 đơn vị vào đỏ mỗi lượt quay với một người bạn đóng vai nhà cái, mỗi bên 12 đơn vị, thì khả năng bạn thắng cả 24 đơn vị là bao nhiêu?
Xem lời giải
Đáp án Người thứ nhất thắng khoảng 1.157 lần trong 1.158. Còn bạn, cược đỏ, chỉ thắng cả 24 đơn vị khoảng 34% số lần.
Ba con xúc xắc ra 11 theo 27 cách và ra 14 theo 15 cách, nên mỗi thẻ được chuyển sẽ về người thứ nhất 27 lần trong 42, tức 9 lần trong 14. Khi mỗi bên bắt đầu với 12, xác suất lấy được tất cả là 1/(1 + r¹²), trong đó r là tỷ số giữa xác suất của bên kia và của bạn.
Với người thứ nhất r = 5/9, và (5/9)¹² ≈ 0,00086, nên xác suất là khoảng 0,99914: tỷ lệ 9¹² trên 5¹², hay 282.429.536.481 trên 244.140.625, khoảng 1.157 trên 1. Huygens đã in đúng những con số ấy năm 1657.
Với cược đỏ, r = 19/18 vì có số 0, và (19/18)¹² ≈ 1,913: xác suất của bạn là 1/2,913 ≈ 34,3%. Một đồng xu sẽ cho 50%. Lợi thế 2,70% trên mỗi lần cược cộng dồn, qua nhiều lần cược cần thiết, thành khoảng cách 16 điểm.

Tranh vui

$Chơi táo bạo là tối ưu. Nó cũng kết thúc rất nhanh.$

Chơi táo bạo là tối ưu. Nó cũng kết thúc rất nhanh.

Nguồn

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, ấn bản thứ 3, 1968. Bài toán phá sản của con bạc, chương XIV.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, vol. 1, 1888, pp. 492–494.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Văn bản in sớm nhất bàn về kỳ vọng.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. Chương 13, roulette.
Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.” Tháng 4 năm 2004.
Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.” Ngày 12 tháng 4 năm 2004.

duyệt lại 2026-09-28mô hình: châu Âu, một số 0phương pháp ↗nguồn ↗