Bài toán: Bánh xe sinh nhật
Cần bao nhiêu lượt quay thì một con số nào đó lặp lại? Ít hơn nhiều so với điều phần lớn mọi người đoán.
Bài toán ngày sinh trên bánh xe 37 ô sốthiết bịÔ sốMột trong 37 ngăn có đánh số trên rô-to. Còn gọi là: slot, cup.Đọc toàn bộ →: chỉ sau 8 lượt quay, xác suất đã cao hơn một nửa rằng có một con số nào đó đã xuất hiện hai lần. Người chơi coi sự lặp lại là quy luật; thực ra đó là hành vi được kỳ vọng của một bánh xe chuẩn.
Đề bài
Quay một bánh xe châu Âu chuẩn. Sau bao nhiêu lượt quay thì xác suấttoánXác suấtKhả năng xảy ra của một kết quả, từ 0 đến 1 hoặc từ 0% đến 100%. Một số: 1/37 = 2,70%.Đọc toàn bộ → có ít nhất hai lượt quay ra cùng một số vượt quá một nửa? Phần lớn người chơi đoán vào khoảng 18 hoặc 19, một nửa của 37. Đáp án là 8.
Lời giải
Tính xác suất không có lần lặp nào rồi lấy một trừ đi. Sau k lượt quay, p(tất cả khác nhau) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Với k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, nên p(có lặp lại) ≈ 0,56. Với k = 14, con số là 0,93; với k = 20, là 0,996. Trực giác thất bại vì số cặp lượt quay tăng theo k², và cặp nào cũng có thể trùng nhau.
Vì sao điều này quan trọng tại bàn
Bảng kết quả hiển thị 20 số gần nhất gần như lúc nào cũng có ít nhất một lần lặp, thường là hai hoặc ba. Người chơi thấy “số 17 ra hai lần trong mười lượt quay” và kết luận số 17 đang nóng; phép tính ngày sinh cho biết một lần lặp trong vòng mười lượt quay xảy ra 74% số lần và con số bị lặp là ngẫu nhiên. Quy luật là có thật; ý nghĩa thì không.
Bài toán tiếp theo
Cần bao nhiêu lượt quay để một con số cụ thể, chẳng hạn số 17, xuất hiện hai lần? Đó là một câu hỏi khác với đáp án lớn hơn nhiều: thời gian chờ kỳ vọng là 74 lượt quay, và xác suất số 17 ra hai lần trong 20 lượt quay là khoảng 10%. Khác biệt giữa “một số nào đó lặp lại” (8 lượt quay) và “con số này lặp lại” (74 lượt quay) chính là toàn bộ khác biệt giữa một quy luật bạn nhận ra sau đó và một dự đoán bạn đưa ra từ trước.
Thử xem
Chạy Trò chơi thử mười lượt quay và xem lịch sử. Thường sẽ có một lần lặp. Chạy lại lần nữa. Con số bị lặp sẽ khác. Làm vậy mười lần là bạn đã thấy bài toán ngày sinhtoánBài toán ngày sinhCần bao nhiêu người thì nhiều khả năng có hai người trùng ngày sinh, hoặc cần bao nhiêu lượt quay thì nhiều khả năng một số lặp lại. Trên bánh xe 37 ô, 8 lượt quay là đủ để khả năng đó cao hơn một nửa.Đọc toàn bộ →; làm một nghìn lần (các trình mô phỏng làm được) là bạn đã đo được nó.
Công thức
Câu hỏi
Chính xác, với 37 ô số thay cho 365 ngày. 23 người cho xác suất 50% với ngày sinh; 8 lượt quay cho 56% với bánh xe.
50% sau khoảng 19 lượt quay. Vẫn là chuyện thường ngày.
Không. Hàng nghìn lượt quay từ một bánh xe thì có thể; một lần lặp thì không bao giờ.
Toán vui
Hãy tự giải trước. Mỗi lời giải đều được thu gọn; mở ra khi bạn đã sẵn sàng.
Một bảng kết quả cạnh bánh xe Mỹ hiển thị 16 lượt quay gần nhất. Xác suất để không số nào xuất hiện hai lần trên bảng là bao nhiêu?
Xem lời giải
Đáp án Khoảng 2,5%: xấp xỉ 39 bảng trong 40 có ít nhất một số lặp lại.
Đi từng lượt quay một. Lượt quay đầu tiên có thể ra bất kỳ số nào. Lượt thứ hai phải tránh số đó: 37 khả năng trong 38. Lượt thứ ba phải tránh cả hai: 36 trên 38. Lượt thứ mười sáu phải tránh mười lăm số: 23 trên 38.
Nhân lại: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Bảng không có số lặp mới là bảng hiếm. Một bảng có số lặp không nói lên điều gì về bánh xe.
Trong mười lượt quay trên bánh xe châu Âu, xác suất để số 17 ra đúng năm lần là bao nhiêu? Để một số nào đó, bất kỳ số nào, ra từ năm lần trở lên? Và để một số nào đó ra ít nhất ba lần trong bốn lượt quay?
Xem lời giải
Đáp án Số 17 đúng năm lần: 1 trên 315.576. Một số nào đó từ năm lần trở lên: khoảng 1 trên 8.333. Một số nào đó từ ba lần trở lên trong bốn lượt quay: 1 trên 349.
Số 17 năm lần: chọn năm trong mười lượt quay, có 252 cách, mỗi cách có xác suất (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Gộp lại, 1 trên 315.576.
Một số nào đó: mỗi số trong 37 số có xác suất 1 trên 308.325 để trúng từ năm lần trở lên, cho ra 37 trên 308.325, tức 1 trên 8.333. Trường hợp hiếm có hai số cùng trúng năm lần bị đếm hai lần, nhưng bỏ nó đi cũng không thay đổi gì ở độ chính xác này.
Ba lần trong bốn lượt quay: với một số, 4 × 36 + 1 = 145 trong 37⁴ kết quả có thể; với bất kỳ số nào trong 37 số, 145/37³ = 1 trên 349.
Wizard of Odds đã trả lời các phiên bản hai số 0bánh xeSố 0Ô số màu xanh lá duy nhất mà không cược 1 ăn 1, cược tá hay cược cột nào phủ; nguồn gốc của lợi thế nhà cái. Còn gọi là: single zero, 0.Đọc toàn bộ → của những câu hỏi này; con số của chúng tôi cho bánh xe đó là 1 trên 359.275, 1 trên 9.243 và 1 trên 368. Khoảng cách giữa “số 17” và “một số nào đó” lại chính là bài toán ngày sinhtoánBài toán ngày sinhCần bao nhiêu người thì nhiều khả năng có hai người trùng ngày sinh, hoặc cần bao nhiêu lượt quay thì nhiều khả năng một số lặp lại. Trên bánh xe 37 ô, 8 lượt quay là đủ để khả năng đó cao hơn một nửa.Đọc toàn bộ →: có 37 cách để bị bất ngờ.
Tranh vui
Có gì đó lặp lại từ sớm. Cái “gì đó” ấy là ngẫu nhiên.
Nguồn
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, các câu hỏi về roulette.