Fibonacci
Mức cược theo dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… Tiến một bước sau khi thua, lùi hai bước sau khi thắng.
Nó không thắng được bánh xe; không kế hoạch đặt cược nào làm được điều đó. Nó nhẹ nhàng hơn Martingale, nên chịu được chuỗi thua dài hơn trước khi chạm giới hạn, và gỡ lại chậm hơn. Khoản thua kỳ vọng vẫn là 2,70% tổng tiền cượctiềnTổng tiền cượcTổng số tiền đã cược trong một phiên chơi hoặc một khoảng thời gian, tính cả tiền thắng được đem cược lại. Còn gọi là: turnover, handle, action.Đọc toàn bộ →.
Dãy số được tạo ra như thế nào
Mỗi số bằng tổng của hai số đứng trước nó.
Vậy sau 8 và 13 là 21.
Vẽ mỗi số thành một hình vuông thì các hình vuông ghép khít vào nhau: mỗi hình mới dài bằng hai hình trước đó đặt cạnh nhau. Một phần tư đường tròn trong mỗi hình vuông, và các cung nối lại thành một đường xoắn ốc.
Đi dọc theo dãy
Thua thì tiến một bước sang phải. Thắng thì lùi hai bước.
Tiền cược và kết quả tính theo đơn vị là mức cược cơ bản.
Hệ thống Fibonacci hoạt động thế nào?
Viết ra dãy số Fibonaccichiến lượcFibonacciKiểu lũy tiến đi theo dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: tiến một bước sau một lần thua, lùi hai bước sau một lần thắng.Đọc toàn bộ →: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Mỗi số là tổng của hai số đứng trước nó. Bắt đầu từ số đầu tiên và cược số đơn vị cượctiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ → bằng số đó. Thua thì tiến sang phải một bước. Thắng thì lùi sang trái hai bước, hoặc về đầu dãy nếu không còn chỗ lùi. Cả hệ thống chỉ có vậy. Bảng cho thấy mỗi bước tốn bao nhiêu: một chuỗi thua bị cắt ngang bởi giới hạn bànbànGiới hạn bànMức cược tối thiểu và tối đa được phép. Mức tối đa là thứ chặn đứng các kiểu lũy tiến gấp đôi.Đọc toàn bộ → hoặc vốn chơitiềnVốn chơiTổng số tiền dành riêng để chơi. Quản lý vốn là quyết định mạo hiểm bao nhiêu trong số đó cho mỗi cửa cược và mỗi phiên chơi.Đọc toàn bộ → của bạn sẽ thua tổng tất cả những gì đã cược đến lúc đó.
Một phiên chơi trông ra sao?
Lấy mức cơ bản $10 và tám lượt quay: thua, thua, thắng, thua, thua, thua, thắng, thắng. Tiền cược lần lượt là 10, 10, 20 (thắng, lùi hai, về bước 1), 10, 10, 20, 30 (thắng, lùi hai, về bước 2), 10 (thắng, về đầu dãy). Thua: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Thắng: 20 + 30 + 10 = 60. Năm lần thua, ba lần thắng, và bạn hòa vốn. Đó là sức hấp dẫn của hệ thống. Cái giá nằm ngay trên cùng dòng ấy: phải cược $120 mới đến được đó, và mỗi đô la đã cược đều chịu lợi thế nhà cáitoánLợi thế nhà cáiPhần của mỗi khoản tiền cược mà sòng bạc giữ lại tính trung bình: 2,70% trong roulette châu Âu.Đọc toàn bộ →.
Vì sao lùi hai bước mà không phải một?
Vì một lần thắng trả đúng hai lần thua. Mỗi số là tổng của hai số đứng trước nó, nên thắng ở mức 5 đơn vị sẽ lấy lại khoản 2 và 3 vừa thua trước đó. Hãy hình dung một cầu thang: mỗi lần thua lên một bậc, mỗi lần thắng xuống hai bậc. Bậc bạn đang đứng chính là món nợ của bạn. Ở bước 5 bạn đang lỗ 7 đơn vị, ở bước 8 bạn đang lỗ 33, và về lại bậc đầu tiên thì bạn vừa đúng hòa vốn. Lãi chỉ đến từ những lần thắng ở bậc đầu tiên, mỗi lần một đơn vị.
Khi số lần thắng gần bằng số lần thua, đổi một lấy hai bậc nghe như món hời, và phần lớn thời gian cầu thang quả có dẫn xuống. Vấn đề là càng lên cao, bậc càng cao. Mười lần thắng ở bậc đầu tiên mang về 10 đơn vị. Ba lần thua ở các bước 6, 7 và 8 mất 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- trung vị −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
Hệ thống Fibonacci có hiệu quả không?
Không. Không phải như một cách để ra về có lãi. Phép tính giống như mọi hệ thống: mỗi lần cược trung bình thua 1/37 tiền cược của nó, nên cả chuỗi thua 1/37 của mọi thứ đã cược. Một dãy số nổi tiếng không thay đổi điều đó, vì bánh xe trả cùng một tỷ lệ dù đồng chiptiềnChipVật đại diện cho một số tiền cố định, được đặt lên bàn cược để đặt cược. Còn gọi là: check.Đọc toàn bộ → lớn hay nhỏ. Mức cược Fibonacci trôi lên, nên nó cược nhiều hơn mỗi lượt quay so với cược đềuchiến lượcCược đềuCược cùng một số tiền ở mọi lượt quay. Là mốc để so sánh mọi kiểu lũy tiến.Đọc toàn bộ →, và khoản thua kỳ vọngtoánKhoản thua kỳ vọngGiá trị kỳ vọng nhân với tổng số tiền đã cược; số tiền thua trung bình trong một phiên chơi hoặc một khoảng thời gian.Đọc toàn bộ → mỗi phiên của nó cao hơn. Martingalechiến lượcMartingaleKiểu lũy tiến gấp đôi mức cược sau mỗi lần thua. Xem mục Chiến lược để biết nó làm được gì và không làm được gì.Đọc toàn bộ → còn cược nhiều hơn nữa, và thua nhiều hơn.
Nó có an toàn hơn Martingale không?
Nó chậm hơn, và đó là chuyện khác. Mức cược Fibonacci tăng khoảng 1,6× mỗi bước thay vì 2×, nên từ mức cơ bản $10, giới hạn $500 bị chạm sau khoảng mười lần thua liên tiếp thay vì sáu. Điều đó khiến vực thẳm hiếm gặp hơn: mười lần thua liên tiếp ở cửa 1 ăn 1 có xác suất (19/37)¹⁰ ≈ 0,13%, so với (19/37)⁶ ≈ 1,8% cho sáu lần. Nhưng vực thẳm cũng sâu hơn, vì đã cược nhiều hơn trên đường đến đó, và một lần thắng đơn lẻ không xóa được nó.
Những con số này từ đâu ra?
Từ một bài toán đố về thỏ. Leonardo xứ Pisa, về sau có biệt danh Fibonacci, nêu nó trong cuốn Liber Abaci năm 1202: bắt đầu với một cặp thỏ, cho mỗi cặp sinh một cặp mới mỗi tháng kể từ tháng thứ hai của nó, rồi đếm số cặp. Đáp án chạy 1, 2, 3, 5, 8, 13. Ông không phải người đầu tiên tìm ra quy luật này. Các học giả Ấn Độ nghiên cứu nhịp thơ đã ghi lại nó từ trước: Singh (1985) lần ngược về Virahanka, trong khoảng năm 600 đến 800, rồi đến Gopala và Hemachandra.
Không ai trong số họ nghĩ đến bánh xe. Các nguồn dùng ở đây không cho biết ai là người đầu tiên đặt tiền theo dãy số này. Điều chúng cho thấy là phép tính của dãy số và phép tính của roulette không bao giờ gặp nhau: một bên nói tiền cược tăng thế nào, bên kia nói mỗi khoản cược trả về bao nhiêu.
Thua bao nhiêu sau một chuỗi thua?
Hai đẳng thức giúp kiểm tra bảng trên một cách dễ dàng. Sau n lần thua liên tiếp, tổng số tiền thua là số Fibonacci thứ (n + 2) trừ 1, cho ra 1, 2, 4, 7, 12, 20 và cứ thế, và tiền cược kế tiếp là số Fibonacci thứ (n + 1). Bollman (2021) chứng minh cùng kết quả bằng quy nạp cho một dãy bắt đầu bằng 1, 2, 3, tức là mỗi số dịch đi một vị trí. Với giới hạn 500 đơn vị và khởi đầu 1 đơn vị, Martingale không thể đặt lần cược thứ 10, 512 đơn vị. Fibonacci đặt được lần thứ 14, 377 đơn vị, nhưng không đặt được lần thứ 15, 610.
Cược tá hay cược cột thì có gì khác?
Với một cược tácượcCược tá1–12, 13–24 hoặc 25–36, trả 2:1.Đọc toàn bộ → hoặc một cược cộtcượcCược cộtMười hai số trong một cột dọc của bàn cược, trả 2:1.Đọc toàn bộ →, trả 1 ăn 2, bước lùi là không cần thiết. Một lần thắng ở mức cược F trả 2F, luôn nhiều hơn tất cả những gì đã thua trước đó, nên mỗi lần thắng đều kết thúc chuỗi với khoản lãi. Cái giá là một tá chỉ thắng 12 lần trong 37, nên chuỗi thua dài phổ biến hơn nhiều: mười bốn lần thua cược tá liên tiếp xảy ra khoảng một lần trong 242 lần thử, so với khoảng một lần trong 11.000 với cửa đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ →.
Nếu chỉ dừng sau hai lần thắng liên tiếp thì sao?
Một biến thể khác tiến một bước sau mỗi lượt quay, dù thắng hay thua, và chỉ dừng sau hai lần thắng liên tiếp. Với n lần thua trước hai lần thắng, khoản lãi là số Fibonacci thứ (n + 1) cộng 1: nhỏ khi những lần thắng đến sớm, lớn hơn khi chúng đến muộn, và được thắng trên những mức cược đã tăng tương ứng. Một cặp thắng sớm luôn đến ở mức cược nhỏ; một cặp thắng muộn có thể đòi hỏi một lần cược lớn đúng vào lúc phiên chơi tệ nhất.
Trình mô phỏng · Fibonacci
2.000 phiên cược 1 ăn 1 với vốn chơi $1.000.
Mức cược cơ bản $10 · giới hạn bàn $500 · 100 lượt quay mỗi phiên
Chuỗi thua xuất hiện thường xuyên đến mức nào
Cược 1 ăn 1 trên bánh xe một số 0 thua 19 lượt quay trên 37. Mỗi hàng là xác suất để một dãy lượt quay cho trước đều thua, và số tiền mà người chơi Fibonacci, người tiến một bước trong dãy sau mỗi lần thua, đã thua tính đến lúc đó.
| thua liên tiếp | xác suất | khoảng 1 trên | đã thua | cược tiếp theo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1.596 | $987 |
Xác suất này là 19/37 nhân với chính nó, mỗi lần thua một lần, tính từ một lượt quay cho trước. Một phiên dài có nhiều lượt quay mà từ đó chuỗi như vậy có thể bắt đầu, nên trong cả một buổi tối, nó dễ xảy ra hơn nhiều so với con số ở một hàng.
Câu hỏi
Có: tiến sau khi thắng, lùi sau khi thua. Nó hoạt động như một Parolichiến lượcParoliLũy tiến dương: gấp đôi sau một lần thắng, đặt lại sau một lần thua hoặc sau ba lần thắng liên tiếp. Còn gọi là: Martingale ngược.Đọc toàn bộ → chậm hơn.
Toán vui
Hãy tự giải trước. Mỗi lời giải đều được thu gọn; mở ra khi bạn đã sẵn sàng.
Chơi biến thể tiến một bước trên dãy số sau mỗi lượt quay, dù thắng hay thua, và dừng sau hai lần thắng liên tiếp: tiền cược 1, 1, 2, 3, 5, 8, v.v. Mười bốn kết quả đầu tiên là Thắng, Thua, Thắng, Thua, Thua, Thua, Thắng, Thua, Thua, Thua, Thắng, Thua, Thua, Thắng. Bạn đang ở đâu, và lần cược tiếp theo là bao nhiêu?
Xem lời giải
Đáp án Lỗ 22 đơn vị cượctiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ →. Lần cược tiếp theo là 610 đơn vị, và nếu thắng, phiên chơi sẽ kết thúc với lãi 588.
Các mức cược là mười bốn số Fibonaccichiến lượcFibonacciKiểu lũy tiến đi theo dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: tiến một bước sau một lần thua, lùi hai bước sau một lần thắng.Đọc toàn bộ → đầu tiên: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 và 377. Cộng các lần thắng và trừ các lần thua: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
Kết quả cuối cùng là thắng, nên chỉ cần thắng thêm một lần là kết thúc. Mức cược tiếp theo là 610: thắng thì còn +588, thua thì còn −632 và mức cược tiếp theo là 987.
Biến thể này luôn kết thúc có lãi, nhưng ở đây nó cần một cược 610 đơn vị để làm được điều đó. Theo luật thông thường, lùi hai bước sau một lần thắng, cùng mười bốn kết quả ấy chỉ khiến bạn lỗ 1 đơn vị với lần cược tiếp theo là 2. Bollman (2021), người bắt đầu dãy từ 1, 2, 3, ra kết quả lỗ 1 với lần cược tiếp theo là 3. Luật thông thường thua ít hơn ở đây vì mỗi lần thắng kéo mức cược xuống lại.
lượt quaytiền cượckết quảlũy kế11Thắng+121Thua032Thắng+243Thua−155Thua−668Thua−14713Thắng−1821Thua−22934Thua−561055Thua−1111189Thắng−2212144Thua−16613233Thua−39914377Thắng−22Trong cùng biến thể đó, vì sao n lần thua tiếp theo là hai lần thắng luôn để lại khoản lãi bằng số Fibonacci thứ (n + 1) cộng 1?
Xem lời giải
Đáp án n lần thua cộng lại bằng số Fibonacci thứ (n + 2) trừ 1, và hai lần thắng là hai số kế tiếp, tổng của chúng vượt con số đó đúng bằng số thứ (n + 1) cộng 1.
Viết F₁, F₂, F₃ … cho 1, 1, 2, 3, 5 … Mỗi số bằng tổng của hai số đứng trước.
Các lần thua: F₁ + F₂ + … + Fₙ. Cộng thêm 1 vào tổng đó, viết thành F₂, và tổng sẽ gộp dần lại: F₂ + F₁ = F₃, rồi F₃ + F₂ = F₄, cứ thế cho đến khi cả tổng là Fₙ₊₂. Vậy tổng các lần thua là Fₙ₊₂ − 1.
Các lần thắng là hai mức cược kế tiếp, Fₙ₊₁ và Fₙ₊₂. Lãi: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. Với bốn lần thua, đó là F₅ + 1 = 6 đơn vị.
Tranh vui
Tỷ lệ vàng gặp tấm biển mức cược tối đa.
Nguồn
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.