Bài toán: Giới hạn bàn
Martingale $10 ở một bàn giới hạn $500. Nó gãy thường xuyên đến đâu, khi gãy thì thua bao nhiêu, và nâng giới hạn có giúp được gì không?
Sáu lần thua liên tiếp làm nó gãy: 1,8% mỗi chu kỳ, khoảng 60% số phiên 100 lượt quay. Cú gãy tốn $630. Nâng giới hạn lên $5.000 làm cú gãy hiếm hơn (0,25% mỗi chu kỳ) và lớn hơn ($5.110). Khoản thua kỳ vọng trên mỗi đô la đã cược là 2,70% ở bất kỳ giới hạn nào.
Đề bài
Một người chơi cược $10 vào cửa đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ → và gấp đôi sau mỗi lần thua, quay về mức ban đầu sau một lần thắng. Mức cược tối đa của bàn là $500. (a) Bao nhiêu lần thua liên tiếp làm cược lũy tiếnchiến lượcLũy tiếnMọi quy tắc thay đổi tiền cược dựa trên các kết quả trước đó. Lũy tiến âm tăng tiền cược sau khi thua, lũy tiến dương tăng sau khi thắng.Đọc toàn bộ → gãy? (b) Xác suấttoánXác suấtKhả năng xảy ra của một kết quả, từ 0 đến 1 hoặc từ 0% đến 100%. Một số: 1/37 = 2,70%.Đọc toàn bộ → mỗi chu kỳ là bao nhiêu? (c) Khi gãy thì thua bao nhiêu? (d) Giới hạn $5.000 thay đổi các đáp án như thế nào? (e) Có giới hạn nào làm hệ thống này sinh lãi không?
Lời giải (a)–(c)
Các mức cược: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Mức thứ bảy sẽ là 640 > 500, nên sáu lần thua làm nó gãy. (b) p(thua) = 19/37 với cửa đỏ; (19/37)⁶ = 0,0183, khoảng 1,8% mỗi chu kỳ. Trung bình một chu kỳ kéo dài khoảng hai lượt quay, nên một phiên 100 lượt quay có chừng 50 chu kỳ và p(ít nhất một lần gãy) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, tức 63 đơn vị cượctiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ → cơ bản, so với $10 mà chu kỳ đó định thắng.
Lời giải (d)
Với $5.000: được phép cược đến 2.560; mức cược thứ mười, 5.120, bị từ chối. Chín lần thua làm nó gãy: (19/37)⁹ ≈ 0,25% mỗi chu kỳ, khoảng 11% số phiên 100 lượt quay. Khoản thua khi gãy: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Người chơi đã mua một thảm họa hiếm hơn với cái giá là một thảm họa lớn hơn. Qua nhiều phiên, cái giá kỳ vọng của các cú gãy là p × khoản thua ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 mỗi chu kỳ ở giới hạn $500 và 0,0025 × 5.110 = $12,8 ở giới hạn $5.000; sai khác chỉ do làm tròn, đó là cùng một con số, và nó bằng khoản thua kỳ vọngtoánKhoản thua kỳ vọngGiá trị kỳ vọng nhân với tổng số tiền đã cược; số tiền thua trung bình trong một phiên chơi hoặc một khoảng thời gian.Đọc toàn bộ → của chu kỳ trừ đi $10 mà các chu kỳ thắng kiếm được.
Lời giải (e)
Không. Khoản thua kỳ vọng mỗi chu kỳ = (tổng tiền cược kỳ vọng trong chu kỳ) / 37, ở bất kỳ giới hạn nào, vì mỗi lần cược là −1/37 của chính nó. Giới hạn chỉ quyết định khoản thua được phân bổ thế nào giữa nhiều lần thắng nhỏ và vài lần thua lớn. Không có giới hạn và với vốn chơitiềnVốn chơiTổng số tiền dành riêng để chơi. Quản lý vốn là quyết định mạo hiểm bao nhiêu trong số đó cho mỗi cửa cược và mỗi phiên chơi.Đọc toàn bộ → vô hạn, cược lũy tiến sẽ “hiệu quả” theo nghĩa nó không bao giờ gãy, và nó cũng sẽ cược một số tiền không có giới hạn với khoản thua kỳ vọng bằng 2,70% của số tiền không có giới hạn đó. Giới hạn bànbànGiới hạn bànMức cược tối thiểu và tối đa được phép. Mức tối đa là thứ chặn đứng các kiểu lũy tiến gấp đôi.Đọc toàn bộ → không phải thứ ngăn Martingalechiến lượcMartingaleKiểu lũy tiến gấp đôi mức cược sau mỗi lần thua. Xem mục Chiến lược để biết nó làm được gì và không làm được gì.Đọc toàn bộ → hiệu quả. Phép tính mới là thứ đó.
Hai bàn có thật
Ví dụ của Thorp là một bàn $1 với mức tối đa $1.000, nơi một người chơi hy vọng thắng $30 cho bữa tối, mỗi lần một đô la. Các mức cược 1, 2, 4 … 512 cho phép mười lần cược, nên mười lần thua liên tiếp làm cược lũy tiến gãy: một lần trong 785 chu kỳ trên bánh xe châu Âu (một lần trong 613 trên bánh xe Mỹ), với cái giá $1.023. Cả ba mươi chu kỳ đều thành công trong 96,2% số lần. 3,8% còn lại thua khoảng $1.000, và kết quả trung bình của buổi tối là −$9,17, đúng bằng 1/37 của $339 mà ba mươi chu kỳ cược trung bình. Một bàn $5 với mức tối đa $2.000 cũng không khác gì: các mức cược đến $1.280 cho phép chín lần cược, và cú gãy đến một lần trong 403 chu kỳ trên bánh xe châu Âu (một lần trong 323 trên bánh xe Mỹ), tốn $2.555.
Một người chơi giàu có
Thay vì một giới hạn thấp, hãy cho cược lũy tiến một vốn chơi dồi dào: 1.000 đơn vị, mức cược cơ bản một đơn vị và 1.000 lượt quay vào cửa đỏ, bắt đầu lại từ một đơn vị mỗi khi lần gấp đôi tiếp theo vượt quá số còn lại. Chúng tôi đã mô phỏng một triệu buổi tối như vậy. Trên bánh xe châu Âu, 52% kết thúc có lãi, 21% mất tất cả, và kết quả trung bình là −124 đơn vị. Ngay cả trong một trò chơi không có số 0bánh xeSố 0Ô số màu xanh lá duy nhất mà không cược 1 ăn 1, cược tá hay cược cột nào phủ; nguồn gốc của lợi thế nhà cái. Còn gọi là: single zero, 0.Đọc toàn bộ →, nơi mọi cửa cược đều công bằng, cũng chỉ khoảng 60% kết thúc có lãi. Buổi tối thường gặp là một khoản thắng nhỏ; mức trung bình do những buổi tối về con số không gánh trả.
Bài học
Sòng bạc đặt giới hạn để kiểm soát phương saitoánPhương saiThước đo mức độ các kết quả phân tán rộng đến đâu quanh giá trị kỳ vọng. Cao với cược số đơn, thấp với cược 1 ăn 1.Đọc toàn bộ → của chính họ, không phải để đánh bại các hệ thống cược. Đánh bại Martingale là tác dụng phụ mà họ vui lòng đón nhận, và phép tính đằng nào cũng đánh bại nó. Người chơi nghĩ giới hạn là vấn đề đã tìm ra vách đá và tưởng nhầm nó là con dốc.
Công thức
Câu hỏi
Nó cho phép bạn trụ đến một giới hạn cao hơn, nơi cú gãy hiếm hơn và lớn hơn. Khoản thua kỳ vọng trên mỗi đô la không đổi.
Các mức cược 10, 30, 70, 150, 310: chạm giới hạn $500 sau năm lần thua, và cú gãy tốn $570. Vẫn là 2,70%.
Để một người chơi không thể cược nhiều hơn mức quỹ dự trữ của sòng bạc có thể thoải mái chi trả. Quản lý phương sai.
Toán vui
Hãy tự giải trước. Mỗi lời giải đều được thu gọn; mở ra khi bạn đã sẵn sàng.
Một hệ thống Martingalechiến lượcMartingaleKiểu lũy tiến gấp đôi mức cược sau mỗi lần thua. Xem mục Chiến lược để biết nó làm được gì và không làm được gì.Đọc toàn bộ → bắt đầu với $100 vào cửa đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ → và cho phép tối đa n lần cược mỗi chu kỳ: sau n lần thua liên tiếp, nó bỏ cuộc và bắt đầu lại. Hãy viết kết quả trung bình của một chu kỳ thành công thức theo n, rồi tính cho 5, 6 và 7 lần cược trên bánh xe châu Âu.
Xem lời giải
Đáp án Trung bình là 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 với 5 lần cược, −$17,35 với 6 và −$20,52 với 7. Cho phép nhiều lần cược hơn làm chu kỳ trung bình tệ hơn, không tốt hơn.
Một chu kỳ thắng $100 trừ khi cả n lần cược đều thua, điều xảy ra với xác suất qⁿ, trong đó q = 19/37. Khi tất cả đều thua, các mức cược 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ cộng lại thành 100 × (2ⁿ − 1). Vậy trung bình là 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Ở đây 2q = 38/37, lớn hơn 1 một chút, nên (2q)ⁿ tăng theo n và trung bình giảm: n = 5 cho 1,1426 và −$14,26; n = 6 cho 1,1735 và −$17,35; n = 7 cho 1,2052 và −$20,52. Một thang dài hơn thua ít thường xuyên hơn, ở 3,6%, 1,8% và 0,9% số chu kỳ, nhưng mỗi lần thua lớn gấp đôi, và nhiều tiền hơn đi qua bàn trong mỗi chu kỳ, với 2,70% của mỗi lần cược.
Trên bánh xe Mỹ 2q = 40/38 và các con số là −$29,24, −$36,04 và −$43,20 (Taylor, 2021). Trong một trò chơi không có số 0bánh xeSố 0Ô số màu xanh lá duy nhất mà không cược 1 ăn 1, cược tá hay cược cột nào phủ; nguồn gốc của lợi thế nhà cái. Còn gọi là: single zero, 0.Đọc toàn bộ →, 2q = 1, và mọi chu kỳ trung bình đúng bằng không dù thang dài đến đâu.
“Grand Martingale” gấp đôi tiền cược sau mỗi lần thua và cộng thêm một đơn vịtiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ →, nên các mức cược là 1, 3, 7, 15, 31 … Bạn có lãi bao nhiêu khi lần thắng đầu tiên đến ở lần cược thứ 1, thứ 2, thứ 3 hay thứ k? Với đơn vị $10 và mức tối đa $500, một chu kỳ vỡ thường xuyên đến đâu, và trung bình một chu kỳ tốn bao nhiêu?
Xem lời giải
Đáp án Thắng ở lần cược thứ k cho bạn lãi k đơn vị: +1, +2, +3 và cứ thế. Với $10 và $500, chu kỳ vỡ sau năm lần thua, 3,57% số chu kỳ, mất −$570. Trung bình một chu kỳ thua $2,32 trên $85,73 đã cược: 2,70%.
Mức cược thứ k là 2ᵏ − 1 đơn vị: 1, 3, 7, 15, 31. Tổng của k − 1 mức cược đầu là 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Thắng ở lần cược thứ k được trả 2ᵏ − 1, nên chu kỳ kết thúc với lãi (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k đơn vị: thêm một đơn vị cho mỗi lần thua trước lần thắng.
Với $10 một đơn vị, các mức cược là $10, $30, $70, $150 và $310; mức tiếp theo, $630, vượt mức tối đa $500. Năm lần thua liên tiếp, (19/37)⁵ = 3,57%, tốn 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Trung bình: các lần thắng mang về $10 × k với xác suất (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 cho k = 1 đến 5, và lần vỡ lấy đi $570 với xác suất 3,57%; cộng lại là −$2,32. Tiền đã cược trung bình $85,73 mỗi chu kỳ, và 2,32/85,73 = 2,70%. Martingale thông thường ở cùng bàn vỡ sau sáu lần thua, 1,83% số chu kỳ, mất −$630, và thua $1,74 trên $64,20 đã cược: lại là 2,70%.
Một người chơi định chơi Martingale vào cửa đỏ với cược đầu $1 tại một bàn có giới hạn $1.000, nên có thể đặt mười cược: $1, $2, $4 và cứ thế đến $512. Bao lâu một lần một chu kỳ thua cả mười, trung bình mất bao lâu thì điều đó xảy ra, và một buổi tối 200 cược kết thúc như vậy thường xuyên đến mức nào?
Xem lời giải
Đáp án Một chu kỳ thua cả mười khoảng một lần trong 784, mất $1.023. Trung bình đó là khoảng 1.600 cược, và một buổi tối 200 cược đụng tường khoảng 11% số lần. Một chu kỳ vẫn thua trung bình $0,31 trên $11,31 tiền cược: 2,70%.
Một cược đỏ thua với xác suất 19/37, tính cả số 0. Mười lần liên tiếp: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, khoảng 1 trên 784. Các mức cược 1 + 2 + 4 + … + 512 cộng lại là $1.023.
Một chu kỳ trung bình gồm 2,05 cược, nên 784 chu kỳ gồm khoảng 1.600 cược. Đếm theo từng lượt quay, một chuỗi mười lần thua xuất hiện đâu đó trong 200 cược 11,3% số lần.
Giữa các lần thảm họa, người chơi thắng $1 mỗi chu kỳ: khoảng $783 trước lần tồi tệ, rồi −$1.023, khoảng −$240 cho cả quãng. Mỗi chu kỳ: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Tiền cược mỗi chu kỳ: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Và −0,31/11,31 = −2,70%.
So sánh với cược đầu $10 ở giới hạn $500, sáu cược: bức tường đến một lần trong 55 chu kỳ, và một buổi tối 200 cược gặp nó 84% số lần. Giới hạn cao hơn khiến cú sụp hiếm hơn và lớn hơn, chứ không rẻ hơn.
Tranh vui
Hiếm hơn và lớn hơn, ở mọi giới hạn. Tích của chúng không đổi.
Nguồn
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.