Xác suất của các chuỗi
Những chuỗi dài cùng một màu là chuyện thường gặp. Chúng cũng không có ý nghĩa gì đối với lượt quay tiếp theo.
Năm lần đỏ liên tiếp: 2,7%. Mười lần: 0,074%. Trong một phiên 200 lượt quay, một chuỗi sáu lần cùng màu xuất hiện thường xuyên hơn là không.
Chuỗi thua xuất hiện thường xuyên đến mức nào
Cược 1 ăn 1 trên bánh xe một số 0 thua 19 lượt quay trên 37. Mỗi hàng là xác suất để một dãy lượt quay cho trước đều thua, và số tiền mà người chơi Martingale, người gấp đôi mức cược sau mỗi lần thua, đã thua tính đến lúc đó.
| thua liên tiếp | xác suất | khoảng 1 trên | đã thua | cược tiếp theo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Xác suất này là 19/37 nhân với chính nó, mỗi lần thua một lần, tính từ một lượt quay cho trước. Một phiên dài có nhiều lượt quay mà từ đó chuỗi như vậy có thể bắt đầu, nên trong cả một buổi tối, nó dễ xảy ra hơn nhiều so với con số ở một hàng.
Một chuỗi đơn lẻ
Xác suấttoánXác suấtKhả năng xảy ra của một kết quả, từ 0 đến 1 hoặc từ 0% đến 100%. Một số: 1/37 = 2,70%.Đọc toàn bộ → để k lượt quay tiếp theo đều ra đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ → là (18/37)ᵏ. Hai lần: 23,7%. Năm lần: 2,7%. Mười lần: 0,074%, khoảng 1 trên 1.350. Hai mươi lần: 1 trên 1,8 triệu. Hai mươi sáu lần, kỷ lục ở Monte Carlo: 1 trên 137 triệu. Đây là xác suất của một chuỗi cụ thể bắt đầu ở một lượt quay cụ thể, và gần như không ai thực sự hỏi câu đó.
Trong một phiên chơi
Câu hỏi người ta thực sự muốn hỏi là “liệu một chuỗi k lần có xuất hiện đâu đó trong phiên của tôi không?”, và câu trả lời lớn hơn (18/37)ᵏ rất nhiều, vì một phiên 200 lượt quay có gần 200 vị trí để một chuỗi bắt đầu. Một chuỗi từ sáu lần cùng màu trở lên, đỏ hay đencượcCược đenCược 1 ăn 1 vào 18 số đen. Tiếng Pháp: noir.Đọc toàn bộ → đều được, xuất hiện trong khoảng 94% số phiên 200 lượt quay; từ tám lần trở lên khoảng 47%; từ mười lần trở lên khoảng 14%. Nếu chọn trước một màu, các khả năng giảm còn khoảng 75%, 27% và 7%. Người chơi ngồi cả buổi tối sẽ thấy những chuỗi dài vào mọi buổi tối.
Vì sao Martingale phải bận tâm
Mọi hệ thống lũy tiếnchiến lượcLũy tiếnMọi quy tắc thay đổi tiền cược dựa trên các kết quả trước đó. Lũy tiến âm tăng tiền cược sau khi thua, lũy tiến dương tăng sau khi thắng.Đọc toàn bộ → âm đều có một độ dài chuỗi thua làm nó gãy: sáu lần thua với mức cược cơ bản $10 và giới hạn $500, mười lần với Fibonaccichiến lượcFibonacciKiểu lũy tiến đi theo dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: tiến một bước sau một lần thua, lùi hai bước sau một lần thắng.Đọc toàn bộ →, năm lần với việc gấp ba trên cược tácượcCược tá1–12, 13–24 hoặc 25–36, trả 2:1.Đọc toàn bộ →. Xác suất của một chuỗi sáu lần thua với cược 1 ăn 1 là (19/37)⁶ ≈ 1,8% mỗi lần thử, và một phiên 200 lượt quay có khoảng 100 lần thử, nên cú gãy đến trong chừng bốn trên năm phiên có độ dài như vậy. Xác suất của các chuỗi là lý do vực thẳm đó không hiếm gặp.
Số nóng và số lạnh
Cùng phép tính đó áp dụng cho cược số đơn (straight up)cượcCược số đơnMột số duy nhất, trả 35:1.Đọc toàn bộ →. Trong 300 lượt quay, số lần kỳ vọng của mỗi số là 8,1; độ lệch chuẩntoánĐộ lệch chuẩnCăn bậc hai của phương sai; khoảng cách điển hình của một kết quả so với giá trị kỳ vọng.Đọc toàn bộ → khoảng 2,8. Chỉ do ngẫu nhiên, lần nào cũng sẽ có số trúng 15 lần và có số chỉ trúng 2 lần. Một bảng kết quả làm nổi bật các số “nóng” chỉ đang làm nổi bật phần đỉnh của một phân phối chuẩn. Phòng thí nghiệm giải thích cần bao nhiêu lượt quay trước khi một “số nóng”lầm tưởngSố nóngMột số gần đây xuất hiện nhiều hơn kỳ vọng. Trên một bánh xe chuẩn, nó không dự đoán được gì.Đọc toàn bộ → mang ý nghĩa gì đó (hàng nghìn lượt, từ một bánh xe đã xác định).
Tính độc lập là mấu chốt
Một chuỗi mười lần đỏ không làm đen dễ ra hơn, và cũng không làm đỏ dễ ra hơn. Cả hai đều là 18/37. Chuỗi là một đặc tính của các dãy ngẫu nhiên, và chính sự vắng mặt của chúng mới đáng ngờ: một dãy 200 lượt quay không có chuỗi nào dài hơn bốn là bằng chứng can thiệp mạnh hơn nhiều so với một dãy có chuỗi mười hai lần.
Công thức
Câu hỏi
26 lần đen ở Monte Carlo ngày 18 tháng 8 năm 1913 là chuỗi nổi tiếng nhất. 32 lần đỏ liên tiếp được ghi nhận ở một sòng bạc Mỹ năm 1943. Cả hai đều phù hợp với ngẫu nhiên, xét số lượt quay mà các sòng bạc thực hiện.
Đằng nào cũng là 18/37. Hãy cược theo kế hoạch của bạn, hoặc không cược gì.
Không. Độ lệch thể hiện qua việc một số ô sốthiết bịÔ sốMột trong 37 ngăn có đánh số trên rô-to. Còn gọi là: slot, cup.Đọc toàn bộ → ra thường xuyên hơn qua hàng nghìn lượt quay, chứ không phải qua các chuỗi cùng màu.
Toán vui
Hãy tự giải trước. Mỗi lời giải đều được thu gọn; mở ra khi bạn đã sẵn sàng.
Tính trung bình, cần bao nhiêu lượt quay bánh xe châu Âu để cả 37 số đều đã ra ít nhất một lần?
Xem lời giải
Đáp án Tính trung bình khoảng 155 lượt quay; trung vị là 147.
Hãy đếm thời gian chờ theo từng số mới một. Lượt quay đầu tiên luôn cho một số mới. Khi bạn đã thấy 1 số, 36 ô sốthiết bịÔ sốMột trong 37 ngăn có đánh số trên rô-to. Còn gọi là: slot, cup.Đọc toàn bộ → trong 37 là mới, nên số mới tiếp theo tính trung bình cần 37/36 lượt quay. Khi bạn đã thấy k số, nó cần 37/(37 − k).
Cộng các thời gian chờ: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 lượt quay.
Phần lớn thời gian đó nằm ở đoạn cuối. Riêng số cuối cùng tính trung bình đã cần 37 lượt quay, và năm số cuối khoảng 85. Trên bánh xe Mỹ, cùng phép tính cho khoảng 161. Đây là bài toán sưu tập phiếu (coupon collector’s problem); Wizard of Odds cũng cho cùng giá trị trung bình.
Trong 37 lượt quay bánh xe châu Âu, mỗi ô số một lượt, bạn nên kỳ vọng thấy bao nhiêu số khác nhau?
Xem lời giải
Đáp án Khoảng 23,6. Xấp xỉ một phần ba số, khoảng 13 số, hoàn toàn không ra.
Lấy một số, chẳng hạn 17. Ở mỗi lượt quay, nó không ra với xác suất 36/37, nên nó trượt cả 37 lượt quay với xác suất (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Số nào cũng có cùng xác suất đó, nên tính trung bình 37 × 0,363 ≈ 13,4 số vắng mặt và 37 − 13,4 ≈ 23,6 số xuất hiện, nhiều số trong đó ra hai lần trở lên.
Người chơi roulette gọi đây là luật một phần ba. Nó chẳng phải luật gì cả, chỉ là số học của sự lặp lại: trong một chuỗi dài bằng số ô của bánh xe, khoảng một phần ba số đứng ngoài, trên bánh xe chuẩn cũng như trên mọi bánh xe khác. Với 38 ô số, tỷ lệ đó cũng là (37/38)³⁸ ≈ 0,363; với bánh xe lớn, nó dần ổn định quanh 1/e ≈ 0,368.
Một người bạn cho bạn xem hai danh sách 50 màu, đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ → hoặc đencượcCược đenCược 1 ăn 1 vào 18 số đen. Tiếng Pháp: noir.Đọc toàn bộ →, được cho là lấy từ một bánh xe sau khi bỏ các số 0bánh xeSố 0Ô số màu xanh lá duy nhất mà không cược 1 ăn 1, cược tá hay cược cột nào phủ; nguồn gốc của lợi thế nhà cái. Còn gọi là: single zero, 0.Đọc toàn bộ →. Một danh sách đổi màu 25 lần và chuỗi dài nhất là sáu. Danh sách kia đổi màu 35 lần và không bao giờ có chuỗi dài quá ba. Danh sách nào là bịa?
Xem lời giải
Đáp án Danh sách thứ hai. Một danh sách thật đổi màu khoảng 24 hoặc 25 lần. Một danh sách đổi màu 35 lần chỉ xuất hiện khoảng một lần trong 500 danh sách, và một danh sách không có chuỗi nào dài quá ba thì khoảng hai lần trong 100.
Mỗi màu mới hoặc lặp lại màu trước hoặc đổi, mỗi khả năng một nửa, nên 49 cơ hội đổi cho trung bình 24,5 lần đổi, xê dịch khoảng 3,5. Ba mươi lăm là cao hơn trung bình ba bước như thế; một bánh xe chuẩn cho chừng đó lần đổi khoảng một lần trong 500 danh sách.
Các chuỗi cũng kể cùng một câu chuyện. Một danh sách thật gồm 50 màu có chuỗi từ bốn trở lên trong khoảng 98% số trường hợp, và chuỗi dài nhất thường là năm hoặc sáu.
Người được yêu cầu bịa ra một danh sách ngẫu nhiên thường đổi màu quá nhiều, vì với họ một chuỗi bốn hay năm trông như một quy luật. Taylor (2021) chỉ ra cùng dấu hiệu đó trong các danh sách tung đồng xu do sinh viên bịa ra: ngẫu nhiên thật có nhiều chuỗi hơn người ta tưởng.
Một cuốn sách về chuyện sòng bạc kể về một người chơi có số của mình ra năm lần liên tiếp và gọi đó là một kỷ lục. Điều đó hiếm đến mức nào trên bánh xe châu Âu? Và nó sẽ xảy ra thường xuyên đến đâu ở đâu đó trong một sòng bạc có 20 bàn, mỗi bàn quay 40 lần một giờ, suốt ngày đêm?
Xem lời giải
Đáp án Một số được chỉ định trước ra năm lần liên tiếp: 1 trên 69 triệu. Một số bất kỳ ra thêm bốn lần nữa sau lần đầu: 1 trên 1,87 triệu. Sòng bạc đó quay khoảng 7 triệu lượt một năm, nên mỗi năm sẽ thấy một chuỗi năm lần ba hoặc bốn lần.
Một số được chỉ định ra với xác suất 1/37 mỗi lượt quay, nên năm lần liên tiếp có xác suất (1/37)⁵ = 1 trên 69.343.957. Nhưng không ai chỉ định số trước. Dù số nào ra đầu tiên, bốn lượt quay kế tiếp phải lặp lại nó: (1/37)⁴ = 1 trên 1.874.161.
20 bàn × 40 lượt quay × 24 giờ × 365 ngày = 7.008.000 lượt quay một năm. Lượt quay nào cũng có thể mở đầu một chuỗi, nên sòng bạc kỳ vọng 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 chuỗi năm lần mỗi năm.
Không có kỷ lục chính thức nào kiểu này, và cũng không cần: một sự kiện hiếm ở một bàn là chuyện thường ngày trên cả sòng bạc, và người ta kể chuyện về cái bàn nơi nó xảy ra. Câu chuyện, trong Goldman (2007), diễn ra trên bánh xe hai số 0, nơi các con số là 1 trên 79 triệu và 1 trên 2,09 triệu.
Tranh vui
Ngẫu nhiên trông như thế này: những chuỗi dài.
Nguồn
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.