Độ lệch chuẩn
Căn bậc hai của phương saitoánPhương saiThước đo mức độ các kết quả phân tán rộng đến đâu quanh giá trị kỳ vọng. Cao với cược số đơn, thấp với cược 1 ăn 1.Đọc toàn bộ →: khoảng cách điển hình giữa một kết quả và giá trị kỳ vọng của nó.
Trên mỗi $1 tiền cược, σ là 5,84 với cược số đơn và 1,00 với cược đỏ. Với một phiên chơi, nhân với tiền cược và với căn bậc hai của số lượt quay.
Quy tắc nhẩm
Khoảng hai phần ba số phiên rơi vào phạm vi một σ quanh giá trị kỳ vọng và 95% trong phạm vi hai. Với 100 lượt quay cược đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ →, mỗi lượt $10 (kỳ vọng −$27, σ = $100), phần lớn các phiên nằm giữa −$127 và +$73, và gần như tất cả nằm giữa −$227 và +$173. Một kết quả nằm ngoài khoảng đó không chứng minh điều gì, ngoài việc cứ hai mươi phiên thì có một phiên như vậy.
Vì sao là √N
Khoản thua kỳ vọngtoánKhoản thua kỳ vọngGiá trị kỳ vọng nhân với tổng số tiền đã cược; số tiền thua trung bình trong một phiên chơi hoặc một khoảng thời gian.Đọc toàn bộ → tăng tỷ lệ thuận với N; độ phân tán tăng tỷ lệ thuận với √N. Khi N nhỏ, độ phân tán lấn át và các phiên giống như tung một đồng xu hơi lệch. Khi N lớn, khoản thua vượt xa độ phân tán. Điểm giao nhau, nơi khoản thua kỳ vọng bằng một độ lệch chuẩntoánĐộ lệch chuẩnCăn bậc hai của phương sai; khoảng cách điển hình của một kết quả so với giá trị kỳ vọng.Đọc toàn bộ →, là N = (σ/lợi thế)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 lượt quay với cược 1 ăn 1 và (5,84/0,027)² ≈ 46.800 với cược số đơn (straight up)cượcCược số đơnMột số duy nhất, trả 35:1.Đọc toàn bộ →. Dưới các con số đó, may rủi quyết định; trên chúng, lợi thế nhà cái quyết định.
Cách sử dụng
Để đánh giá một phiên có bất thường không, hãy tính (kết quả − EV)/σ, với EV là giá trị kỳ vọng. Một người cược đỏ $10 kết thúc 100 lượt quay ở mức +$150 thì đang ở (150 + 27)/100 = 1,77σ, một kết quả cỡ 1 trên 25: may mắn, chứ không có gì đáng kể. Một người cược số đơn với cùng +$150 chỉ ở 0,3σ: một buổi tối bình thường. Cùng một kết quả tính bằng đô la có ý nghĩa khác nhau với các cửa cược khác nhau.
Sai số chuẩn của một tỷ lệ
Cũng phép tính đó cho bạn biết cần bao nhiêu lượt quay để thấy lợi thế nhà cái trong dữ liệu. Sai số chuẩn của tỷ lệ thắng quan sát được là √(p(1 − p)/N). Với cược đỏ và N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Khoảng cách giữa một đồng xu công bằng và cửa đỏ là 1,35%, nên sau 1.000 lượt quay bạn vẫn chưa thể phân biệt chúng một cách chắc chắn. Sau 10.000 lượt quay, sai số chuẩn là 0,5% và bạn phân biệt được. Đây cũng là lý do việc phát hiện độ lệch của bánh xe cần rất nhiều lượt quay.
Lưu ý về độ lệch phân phối
Trong một phiên ngắn, kết quả của cược số đơn hoàn toàn không có phân phối chuẩn: phần lớn các phiên là đều đặn −$10 mỗi lượt quay, thỉnh thoảng nhảy lên +$350. Quy tắc ±1σ mô tả đúng độ phân tán nhưng mô tả kém hình dạng, cho đến khi N lên tới hàng trăm. Với cược 1 ăn 1cượcCược 1 ăn 1Đỏ/đen, lẻ/chẵn, cao/thấp. 18 số, trả 1:1.Đọc toàn bộ →, xấp xỉ chuẩn đã tốt từ khoảng 30 lượt quay.
Công thức
Câu hỏi
Nó chứng minh rằng bạn đã chơi khoảng 40 phiên, hoặc bạn là một phiên may mắn trong bốn mươi. Hãy lặp lại thử xem.
Nó dao động ngày càng ít: sai số chuẩn của giá trị trung bình là σ/√N. Đến N = 10.000, nó bằng 1% tiền cược.
Toán vui
Hãy tự giải trước. Mỗi lời giải đều được thu gọn; mở ra khi bạn đã sẵn sàng.
Qua 100 lượt quay trên bánh xe châu Âu, một đơn vị cượctiềnĐơn vị cượcMức cược cơ bản mà một hệ thống hoặc một người chơi dùng làm chuẩn. Các kiểu lũy tiến được mô tả bằng đơn vị để áp dụng được ở mọi bàn.Đọc toàn bộ → vào cửa đỏcượcCược đỏCược 1 ăn 1 vào 18 số đỏ. Tiếng Pháp: rouge.Đọc toàn bộ → có lãi nếu thắng ít nhất 51 lần, và một đơn vị vào một cược số đơn (straight up)cượcCược số đơnMột số duy nhất, trả 35:1.Đọc toàn bộ → có lãi nếu số của nó ra ít nhất 3 lần. Hãy dùng đường cong hình chuông để ước tính cả hai xác suất, rồi so sánh với đáp án chính xác.
Xem lời giải
Đáp án Cửa đỏ: đường cong hình chuông cho 35,6% và đáp án chính xác là 35,5%. Cược số đơn: đường cong hình chuông cho 55,0% và đáp án chính xác là 50,9%. Cách tính nhanh này đúng với cửa đỏ và trượt với một số đơn lẻ.
Cửa đỏ: số lần thắng trung bình là 100 × 18/37 = 48,6, với độ phân tán √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Có lãi nghĩa là từ 51 lần trở lên; mốc ở giữa, 50,5, cao hơn mức trung bình 0,37 lần độ phân tán, và đường cong hình chuông đặt 35,6% ở phía trên mốc đó. Cộng các xác suất chính xác của 51, 52 … 100 lần thắng được 35,5%.
Cược số đơn: số lần trúng trung bình là 100/37 = 2,70, với độ phân tán √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Từ ba lần trúng trở lên nghĩa là trên 2,5, thấp hơn mức trung bình 0,12 lần độ phân tán: 55,0% theo đường cong hình chuông. Tính chính xác, đó là 1 trừ đi xác suất của 0, 1 và 2 lần trúng, 6,5% + 17,9% + 24,7%, còn lại 50,9%.
Đường cong hình chuông cần nhiều kết quả ở cả hai phía của mức trung bình. Cửa đỏ có đủ sau 100 lượt quay; một số trúng trung bình chưa tới ba lần thì không. Đường cong này thậm chí gán 8,7% cho “không trúng lần nào”, trong khi xác suất thật là 6,5%. Taylor (2021) đặt phân phối nhị thức và đường cong hình chuông cạnh nhau theo cùng cách này.
Tranh vui
Cứ hai mươi phiên có một phiên nằm ngoài hai sigma. Lúc nào cũng có ai đó ở phần đuôi.
Nguồn
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.